“引申”主要是指对例习题进行变通推广，重新认识．恰当合理的引申能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、事半功倍．笔者在教学视导中发现，有些教师对引申的“度”把握不准确，不能因材施教，单纯地为了引申而引申，给学生造成了过重的学习和心理负担，使学生产生了逆反心理，“高投入、低产出”，事倍而功半．下面就引申要注意的几个问题谈点个人的看法．

　1　引申要在原例习题的基础上进行，要自然流畅，不能“拉郎配”，要有利于学生通过引申题目的解答，加深对所学知识的理解和掌握

如在新授定理“ａ，ｂ∈Ｒ＋，（ａ＋ｂ）／2）≥ （当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）”的应用时，给出了如下的例题及引申：

例1　已知ｘ＞0，求ｙ＝ｘ＋（1／ｘ）的最小值．

引申1　ｘ∈Ｒ，函数ｙ＝ｘ＋（1／ｘ）有最小值吗?为什么?

引申2　已知ｘ＞0，求ｙ＝ｘ＋（2／ｘ）的最小值；

引申3　函数ｙ＝（ｘ２＋3）／ 的最小值为2吗?

由该例题及三个引申的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础．

例2　求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（2ｘ／3）＋ｃｏｓ[（2ｘ／3）－（π／6）]的振幅、周期、单调区间及最大值与最小值．

这是一个研究函数性质的典型习题，利用和差化积公式可化为ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ（（2ｘ／3）－（π／3）），从而可求出所要的结论．现把本例作如下引申：

引申1　求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（2ｘ／3）＋ｃｏｓ[（2ｘ／3）－（π／6））的对称轴方程、对称中心及相邻两条对称轴之间的距离．

引申2　函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（2ｘ／3）＋ｃｏｓ（（2ｘ／3）－（π／6））的图象与ｙ＝ｃｏｓｘ的图象之间有什么关系?

以上两个引申的结论都是在相同的题干下进行的，引申的出现较为自然，它能使学生对三角函数的图象及性质、图象的变换规律及和积互化公式进行全面的复习与掌握，有助于提高学习效率．

2　引申要限制在学生思维水平的“最近发展区”上，引申题目的解决要在学生已有的认知基础之上，并且要结合教学的内容、目的和要求，要有助于学生对本节课内容的掌握

如在新授定理“ａ，ｂ∈Ｒ＋，（ａ＋ｂ／2）≥ （当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）”的应用时，把引申3改为：求函数ｙ＝（ｘ２＋3）／ 的最小值，则显得有些不妥．因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用，而解答引申3不但要指出函数的最小值不是2，而且还要借助于函数的单调性求出最小值，这样本堂课就要用不少时间去证明单调性，“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授；但若作为课后思考题让学生去讨论，则将是一种较好的设计．

3　引申要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率

如在新授利用数学归纳法证明几何问题时，《代数》（非实验修订本）课本给出了例题：平面内有ｎ条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数ｆ（ｎ）等于（1／2）ｎ（ｎ－1）．在证明的过程中，引导学生注意观察ｆ（ｋ）与ｆ（ｋ＋１）的关系有ｆ（ｋ＋1）－ｆ（ｋ）＝ｋ，从而给出：

引申1　平面内有条ｎ直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求这ｎ条直线共有几个交点?

此引申自然恰当，变证明为探索，使学生在探索ｆ（ｋ）与ｆ（ｋ＋1）的关系的过程中得了答案，而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解．类似地还可以给出

引申2　平面内有ｎ条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该ｎ条直线把平面分成ｆ（ｎ）个区域，则ｆ（ｎ＋1）＝ｆ（ｎ）＋_______________．

引申3　平面内有ｎ条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，该ｎ条直线把平面分成ｆ（ｎ）个区域，求ｆ（ｎ）．

上述引申3在引申1与引申2的基础上很容易掌握，但若没有引申1与引申2而直接给出引申3，学生解决起来就非常困难，对树立学生的学习信心是不利的，从而也降低了学习的效率．

　4　提倡让学生参与题目的引申

引申并不是教师的“专利”，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方密切配合，交流互动，只要是学生能够引申的，教师绝不包办代替．学生引申有困难的，可在教师的点拨与启发下完成，这样可以调动学生学习的积极性，提高学生参与创新的意识．

如在学习向量的加法与减法时，有这样一个习题：化简 ＋ ＋ ．

（试验修订本下册P．103习题5．2的第6小题）在引导学生给出解答后，教师提出如下思考：

①你能用文字叙述该题吗?

通过讨论，畅所欲言、补充完善，会有：

引申1　如果三个向量首尾连接可以构成三角形，且这三个向量的方向顺序一致（顺时针或逆时针），则这三个向量的代数和为零．

②大家再讨论一下，这个结论是否只对三角形适合?

通过讨论学生首先想到对四边形适合，从而有

引申2　 + + + ＝0．

③大家再想一想或动笔画一画满足引申2的这四个向量是否一定可构成四边形?

在教师的启发下不难得到结论：四个向量首尾相连不论是否可形成四边形，只要它们的方向顺序一致，则这四个向量的代数和为零．

④进一步启发，学生自己就可得出ｎ条封闭折线的一个性质：

引申3　 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ＝0．

最后再让学生思考若把 ＋ ＋ ＝0改为任意的三个向量ａ＋ｂ＋ｃ＝0，则这三个向量是否还可以构成三角形?这就是Ｐ．103习题5．2的第7小题，学生很容易得出答案．至此，学生大脑中原有的认知结构被激活，学生的求知欲被唤起，形成了教师乐教、学生乐学的良好局面．

5　引申题目的数量要有“度”

引申过多，不但会造成题海，会增加无效劳动和加重学生的负担，而且还会使学生产生逆反心理，对解题产生厌烦情绪．笔者在一次听课时，有位青年教师对一道例题连续给出了10个引申，而且在难度上逐渐加大，最后引申的题目与例题无论在内容上还是在解题方法上都相关不大，这样的引申不仅对学生学习本节课内容没有帮助，而且超出了学生的接受能力，教学效果也就会大打折扣．

综上所述，变式教学中习题的引申方式、形式及内容，要根据教材的内容和学生的情况来安排，因材施教是课堂教学永远要坚持的原则，恰当合理的引申，可使学生一题多解和多题一解，有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，它能升华学生的思维，培养学生的创新意识．

参考文献

1　张宪铸一道向量习题的推广及应用数学通讯，2001，17