摘 要：藏族古代文化中的对称图形雍仲符号和菱形图形，是常见的、古老的代表高原文明特征的重要图案。 和 是两个对称变换的全等图形，都是雍仲符号。菱形也是藏族喜爱的对称图形，它的出现比雍仲符号还要早。这两个对称图形表明，藏族先民对几何的或代数的对称性在远古就有一定的认识和应用。

一、有关卐和卍

在《藏族史前文化中的几何图形妒》中，我们讨论了藏族古代文化中的一些几何图形，但对卐和卍这两个图形并未涉及。它们是常见的、古老的而又可以代表高原文明特征的重要图案的一部分。在《“卍”图像符号源流考》有这样一段话：“从大量的考古资料和有关史实证实：卍符号起源于亚洲中部和东部的新石器时代的彩陶文化中，距今已有六七千年的历史，产生后在世界上对一些地区的民族，有着深刻而广泛的影响。”在藏族文化中，卐和卍这两个符号出现的地域很广，年代也很早，长期以来受到多方面学者的注意。《西藏日土县古代岩画调查简报》叙述了日土县任姆栋岩画和恰克桑岩画，不少的画面上出现了卐和卍符号，它们皆为刻凿而成。根据《西藏历史文化辞典》对西藏岩画的断代，任姆栋岩画属早期苯教文化时期，时间大致在公元前1000年。《西藏纳木措扎西岛洞穴岩壁画调查简报》记述了几处岩画出现的符号“卍”。除了在岩画中见到这两个符号外，吐蕃时期遗物中也可见到它们。《“雍仲”符号文化现象散论》提到夏拉康两通碑和第穆摩崖石刻上出现的“卐”。这两个符号还出现于服装点缀、民居装饰、唐卡、祭神仪式等，使用很普遍。

在考古文物资料的基础上，有许多文献对这两个符号进行了讨论。纵观一些文献的有关论点，既有共同点也有不同的地方。共同点是:这两个符号都是传统的吉祥观念的艺术体现，深深地打上了藏族宗教文化的印记。它们都代表“永恒”、“永生”和坚固不摧的意思。但关于哪个符号是苯教的标志，哪个符号称为“雍仲”，这两个问题许多文献的说法都不一样。例如《青藏高原的岩画与苯教》一文中写道:“藏语称卍纹为‘雍仲’。苯教以卍纹为其象征”，“佛教中顺时针旋转的卐纹象征着佛教的坚无不摧;苯教模仿佛教也将自己原有的咫纹作为自己的象征……采用与佛教不同的旋转方向。”《麝香之路上的西藏宗教文化》一书写道:“‘卍’这一符号在苯教中称作‘雍仲’，其来历同‘欧摩隆仁’这一苯教的圣地有关。”《丝路文化·吐蕃卷》说:“卍符号是十分有趣的一种文化现象……西藏苯教中也有这一符号，叫做‘雍仲’。……佛教中则有卐字符，称为万字，或德字……”《日土岩画的初步研究》一文中有如下一段话:‘旧土岩画中出现五处‘卐’形和两处卍形符号。一般来说，前者多在佛经、佛像上出现，而后者与前者方向相反，在藏语中称为‘雍仲’，是西藏苯教的标志。”《探访苯教寺庙—郎依寺》一文说，卍符就在神像的胸中。以上几种说法是一致的，“卍”是雍仲符，是西藏苯教的标志。

与上述说法相反的观点也不鲜见。例如《西藏历史文化辞典矛明确地说:“雍仲就是卐符号……这个图案在藏区非常普遍。一般认为这是苯教的标志。”《拉萨史》一书写道:“在藏语中称之为‘雍仲’的卐符号，作为吉祥和永恒不变的标记，被原始自然宗教本波所使用。”也有把“卍”看成苯教符号的。

部分学者将卐和卍这两个符号都称为“雍仲”。例如《论吐蕃悉补野部与畜牧业文化的发展》一文，就把卐和卍都称为“雍仲”。在《藏族服饰文化的宗教意蕴》一文中写道:“雍仲是藏语文对‘卍’形符号的称谓，是一种宗教标志，或称之谓教徽。藏传佛教的‘卐’则是以顺时针方向旋转……‘卍’符号是西藏雍仲苯教的密语之一，代表了‘永生’、‘永恒’、‘长存’的含义。”

从上面的叙述可以看出，关于符号卐和卍存在两个问题。第一个问题是:哪个符号是“雍仲”?或者两个都称为“雍仲”?第二个问题是:哪个符号是苯教的标志?是否历史上曾用过一个，后来又出现了另一个?是否某地区用这个，另一地区用了另一个?这些问题有待做进一步的研究。下面我们仅仅从数学的角度来考析，对第一个问题发表一点不成熟的看法。

二、卐与卍的对称性

从数学的角度看，卐与卍是对称图形。“对称，照字面来讲，就是两 个东西相对相称（或者说相仿，相等）”。（如图1），我们把卍画在一张透明的薄膜上，并把它悬挂在空中。从正面看过去，它是符号卍，从反面看过去，它是符号卐。从正面看，当卍按照逆时针旋转时，从反面看恰好是卐作顺时针旋转。

在衣服上乡着卍（或卐）符号表示吉祥，这是我们经常可以看到的。当你洗好这件衣服，把它晒在外面，你同样会发现这一现象。如果从背面看过去是卍符号时，从前面看过去正好是卐符号。

卐和卍是两个全等的图形。如果将它们分别画在两张透明的纸上，把其中的一张反过来，迭到另一张上，则这两个符号正好迭到一起，变成了一个了，所以它们是可以合同为全等的图形（如图2所示）。

从以上分析可知，关于卐和卍对称变换是全等的，它们可以年成是同一图形，叫做“雍仲”似乎更合理些。

卐（或卍）还具有另一种对称性。我们把交叉点记为O。如果将卍（卐）绕O点旋转90°，所得到的图形与原来是完全一样的。这种旋转90°的变换具有不变性，同样道理，旋转180°或270°或360°的变换组成的变换群下的不变图形。它们所代表的文化意义——永恒不变，与这两个符号在这些变换下保持不变，正好是一致的。究竟什么时候藏族的先民们就意识到这种对称性呢？

我们可以把雍仲图形与三阶纵横图联系起来。有些唐卡上同时出现三阶纵横图和雍仲符号（如图3）。如果把三阶纵横图上的9个数字写到卍的各个点上，然后我们将卍绕中心点旋转，就可以得到其他的三阶纵横图。数字的排列变化了，但三纵三横及对角线数字之和都相等。三阶纵横图与雍仲符号具有同样的对称性。它们在藏族文化中都意蕴着坚固、永久、不变。如果从此推断藏族先民对几何的或代数的对称性早就有了一定的认识，我们想是有一定根据的。

三、菱形对称图形

菱形是藏族喜爱的又一个对称图形。它在藏族文化中出现的时间比雍仲符号早得多。根据考古资料发现新石器时代已经出现了许多轮廓近似菱形的石器。卡若遗址出土的陶器上纹饰有许多菱形，它们是人们主动地刻画或压印在陶器上的。这就非常强烈地表明，远古藏族文化中已经有了菱形这个对称图形。曲贡遗址的陶器纹饰非常丰富，除了菱形外，更有许多组合起来的图形。如图4（a）是在菱形内嵌套一个菱形，称为重菱形；图4（b）是在菱形内填上两个同心圆，其圆心与菱形的中心重合；图4（c）是一个陶罐的颈部的顶视图，它将菱形与折线组合起来，沿颈部分布，大约是三等分的。

菱形关于它的两条对角线是对称的。沿着它的一条对角线折一下，可以把它的一半（三角形）重合到它的另一半（三角形）去。在一个菱形内嵌套上另一个菱形，使它们有相同的对角线，就能保持这种对称性。

前面说过，祀和断绕中心转动90°，180°，270°，360°，都是不变的。菱形绕着它的中心180°或360°乃是不变的。圆具有最好的对称性，它绕圆心旋转任意角度都是不变的。以菱形的中心为圆心，画上一个或两个圆，与菱形组合在一起，不影响整个图形的对称性。

图4(c)就更复杂了。每个菱形是对称的图形。两个菱形与折线组成的也是对称图形。把三个这样的图形均匀地分布在两个同心圆之间，整个构成一个对称图形。当它绕圆心旋转120°或240°或360°时，整个图形具有不变性。

藏族先民们为什么喜欢这些图形？她们具有某种对称性，是一个主要的原因。在叙述曲贡遗址发掘情况的文献中，作者写道：“曲贡人对菱形纹的偏好，似乎表明这纹饰里有一种我们不可知的秘密，代表当时人们的信仰与追求。”距今4000年前已经出现的这个图形，表示人们对美的追求，而从美的方面考察，对称性是很重要的一个因素。

除了菱形、重菱形、菱形与圆、菱形与折线的复合图形外，还有一种变化的图形也很普遍。把一个菱形沿着它的边的方向移动，得到许多菱形，构成一个美丽的图案。例如画在扎什伦布寺墙上的图案。它也出现在重大的展览会和各种仪式上。（见图5）

由于自然界（包括人体本身）普遍存在着对称现象，藏族先民们对此逐步有了认识，慢慢地形成了对称的观念，然后在绘画、刻印等文化方面开始应用。这不能说距今四千多年前，就有了数学上的对称的概念。何时西藏数学较完整地反映了这种对称观念呢？它是本身产生的还是外界传入的？这些都需要进一步探讨。

考古资料表明，藏族先民们在四千多年前就对菱形有了应用。对它特别喜爱的原因之一，是它具有对称性。在陶器上刻画的纹饰还有菱形与其他图形的组合，是一种更复杂的对称性的应用。后来，距今三千多年前的岩画中出现了卐和卍。它们是全等的图形。在关于雍仲图形的各种说法中，我们认为把它们都称为雍仲更合理一些。