【摘　要】 在地心坐标系中定义地球椭球面的基础上，给出了地理空间的数学定义。根据拓扑学中的同胚映射，覆盖空间等理论，推导了制图区域、地图投影、制图物体及其在椭球面和地图平面上的定位等概念，通过对地图符号平面定位的单一性与其对应的制图物体性质多样性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制图目的的不同而分别表示多种事物的性质或量值的基本原理，阐释了对同一制图区域进行多专题制图的客观条件和物理基础。

【关键词】 地心坐标系 地球椭球 地理空间 制图区域 制图物体 地图符号

地理系统研究人类赖以生存与生活和影响所及的整个自然环境与社会经济环境[1]。人类为了生存和发展的需要，必须以各种技术手段，采集和获取地理空间的相关信息。现代测绘学，是信息科学的一个分支，是获得物体的空间位置和属性信息[2]。地图作为空间信息的一种载体，它通过人们创设的地图符号集合，能把制图区域内复杂的空间存在压缩为二维的简单关系，从而使广域空间内的自然现象和社会经济现象的空间分布、地理特征和相互关系跃然纸上。二维地图是人类认识上的飞跃，是人类原始思维向抽象化发展的结果[3]。地图总涉及到地理空间、制图区域和制图物体等基本概念。在现行的大中专教材及有关地图学文献中，尚未见这些基本概念的数学定义，因而不能从理论的高度对其概括和阐释。本文是笔者对地理空间、制图区域、制图物体数学定义的研究及其关联的地图符号的数学分析。

1 地理空间事物的椭球面定位

1.1 地心坐标系

以地球质心为大地坐标原点的坐标系，即地心坐标系。这种坐标系统是阐明地球上各种地理和物理现象，特别是空间物体运动的本始参考系。但长期以来，由于人类不能精确确定地心的位置，因而较少使用。目前利用空间技术等手段，已可在cm量级上确定它的位置，因此采用地心坐标系在当今既有必要性也有了可能性。现在利用空间技术得到的定位和影像等成果，客观上都是以地心坐标系为参照系[4]。使用地心坐标系，在国际上已成为一种明显的趋势。

地球空间事物的定位，涉及地球的形状和一定的坐标系。全球范围内，可用地心大地坐标系和地心笛卡尔坐标系表示点的空间位置。

1.1.1 地球椭球

大地水准面包围的地球形体比较接近真实的地球形状，但仍是一个有100m起伏幅度的复杂曲面，不能用简单的数学方程表示，更难以在此面上进行简单而又精密的坐标和几何计算[5]。为此，测绘科学中常以一个接近地球整体形状的旋转椭球代替真实的地球形体，这个旋转椭球称为参考椭球。在现代大地测量中，规定参考椭球是等位椭球或水准椭球，即参考椭球与正常椭球一致。一个等位旋转椭球由四个常数定义，这四个常数常是赤道半径a，地心引力常数GM，动力形状因子J2，旋转速度ω。考虑到便于利用GPS与国际兼容，我国建议采用参考椭球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；GM=3986004.418×；ω=7292115×。根据这四个常数，可以得出一系列导出常数[6]。根据地球的扁率f，可以求出椭球短半径b，从而可用数学方程表示一个已知长半径a和短半径b的椭球。

1.1.2 地心大地坐标系DL

地心大地坐标系是使地球质心作椭球中心，以过所求点c的椭球面法线与赤道面的夹角φ为纬度，以过c点的子午面与初始子午面的二面角λ为经度，以c点沿法线到椭球面的距离为大地高h，用c点的三个分量φ、λ、h表示其空间位置。地心大地坐标也即三维地理坐标系，记作DL。对于任何地球空间点c，总存在c=（φ、λ、h）∈DL|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-H～+H]。已知地球椭球的长半径a和短半径b，可定义椭球面。

定义1　 地球椭球面 对c∈（φ、λ、h）∈DL，存在c1=（0°，λ，O）， c2 =（0°，-λ，O），c3 =（90°，λ，O），c4=（-90°，λ，O）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若点集满足：

S={c|c=（φ、λ、h）∈DL，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1）

则称S为以a为长半径，b为短半径的椭球面。若a，b分别为地球参考椭球的长、短半径，则称S为地球椭球面。

1.1.3 地心笛卡尔坐标系DK

以地心O为坐标原点，选择一个以赤道平面上一组相互垂直的直线为X、Y轴，而以地轴为Z轴，这样的坐标系称地心笛卡尔坐标系，记作DK。若以地球参考椭球的长半径a和短半径b作常数，则地球椭球面也可定义。

定义2　 地球椭球面 存在地球椭球的长半径a和短半径b，若点集满足：

S=｛c|c=（x，y，z）∈DK∧ =1｝　　　　 （2）

则称S为以a为长半径，b为短半径的地球椭球面，其中2b即地轴兼旋转轴[7]。

1.2 地理空间

地理科学研究的对象是地球的表层，具体地讲，上至同温层底部，下到岩石圈的上部，指陆地住下5～6公里，海洋往下4公里。设地球表层的上限为H1，下限为H2，从而得h的定义域（适用于“地球表层”概念）为h∈[-H2，H1]。根据h的取值，以h=0的椭球面为界面，可定义地球内空间和外空间。

定义3　 地球内空间 满足条件

IntK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧-H2≤h＜O｝ 　　（3）

的点集，称为地球内空间。

地球内空间即指岩石圈顶部至地球椭球面之间部分。由椭球面与真实地球表面之间的差异，因此存在虽在地表之上却因其处于椭球面内侧而属于地球内空间的点集。

定义4 　地球外空间 满足条件

ExtK=｛P|P=（φ，λ，h）∈DL∧O＜h≤H1｝　　　 （4）

的点集，称为地球外空间。

地球外空间即是地球椭球面到同温层底部的空间。由于椭球面与自然面之间的差异，同样存在虽在地表之下却因处于椭球面外侧而属地球外空间的点集。

定义5 　地理空间 地球内空间EntK、地球椭球面S和地球外空间EntK的并集，称为地理空间，即

K=EntK∪S∪ExtK|EntK，S，ExtK∈DL　　　　　 （5）

由于地理空间的上下限H1和-H2的选择与地球表层概念相适应，因此，地理空间的定义也就是地球表层的数学表述。

2 制图区域和制图物体

2.1 同胚

定义6 　同胚 设X和Y是两个随意的拓扑空间，并设f：X→Y。如果f是连续的双一一函数，并且它的反函数f -1也是连续的，那么，f就叫做空间X到空间Y上的同胚或拓扑映射或拓扑变换；此时空间X与空间Y叫做同胚的，记作X≈Y。

如果f是空间X到空间Y上的一个同胚，AX，并且B=f（A），则称点集A与点集B是同胚的，记作A≈B；此时又称点集B是点集A在同胚f之下的同胚象或拓扑象。如果f是空间X到空间Y上的一个同胚，g是空间Y到空间Z上的一个同胚，则复合函数gf是X到Z上的一个同胚。空间的同胚关系≈是一个等价关系[5]。地貌等高线图形，也就是其上覆地貌的同胚象[6]。

2.2 覆盖空间

定义7　 覆盖空间 设E和B是连通且局部道路连通的拓扑空间，f∶Ｅ→Ｂ是连续满射，如果对于每个c∈Ｂ，存在c的道路连通开域U，使得ｆ把ｆ -1（U）的每个通路连通分支同胚地映射成U，则称（E，ｆ）是Ｂ的覆盖空间，这种U称为容许邻域，Ｂ称为底空间，ｆ称为覆盖投影[10，11]。

2.3 制图区域和制图物体

2.3.1 椭球面上点c与过c点的椭球面法线ｈC的双一一函数关系

设c为椭球面Ｓ上的任意点，c∈S，过c点能且仅能作一条法线ｈC指向地理空间Ｋ。由于大地高ｈ以椭球面为起算面，故地球外空间ExtK=｛ｈC|0＜ｈC≤Ｈ1｝，地球内空间IntK=｛ｈC|-H2≤ｈC＜0｝。显然，地球空间的椭球面法线hC与椭球面上的投影点c是双一一函数。现把覆盖空间定义应用于地球外空间ExtK与地球椭球面S：令覆盖定义中的E=ExtK，B=S，f是连续满射，c∈S，|f -1（c）=hC∈ExtK，这里S是底空间，（f， ExtK）是S的覆盖空间，f为覆盖投影，c是hC在f下的同胚象或拓扑象。同理可说明地球内空间与地球椭球面的关系。

2.3.2 制图区域和制图物体的椭球面定位

定义8 　制图区域 设A为S的子集，AS，如果A是S中一个连通的开集，那末，A就叫做S中的一个区域。点c∈A，c的邻域U的原象f -1（U） ∈f -1（A）被作为制图对象时，则称f -1（U）为制图物体。f -1（A）在椭球面上的投影A称为制图区域。c的邻域U在球面上的外在特征有三种：

1） 当U=c为单一点时，称c为f -1（U）的点状定位；

2） 当U=lC，lC表现为线状连通集时，称lC为f -1（U）的线状定位；

3） 当U=SC，SC表现为面状连通集时，称SC为f -1（U）的面状定位。

地理空间中的物体f -1（U）在椭球面上的定位形式关联着它在地图平面上的定位形式并决定着其关联的地图符号的类型。